数理统计的现实意义¶
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这份笔记重点关注于数理统计中的各个概念是如何出现的，我们为什么要这样子进行数理统计，而并不关注与公式的形式。之前也讲解过线性代数的本质思想，刚好可以作为呼应。另外，本份笔记参考资料为通俗统计学原理入门。非常感谢陈祥雨老师的启发式通俗讲解。
中心极限定理¶
数学表述为：所研究的随机变量如果是由大量独立的随机变量相加而成，那么它的分布将近似于正态分布。
通俗表示为，如果一个结果是由大量不相干的因素累加导致的，那么这个结果一定表现为正态分布。
例如，一个考生的高考成绩会受到无数不相干因素的影响，那么，某年中某省的高考全部考生的英语成绩卷面分必定服从正态分布。
又比如，当我们进行多次实验，每次实验抛一定数量的硬币，然后统计硬币为正面的数量，以每次正面硬币数量为横轴，抛得该正面数量的试验次数为纵轴画图，最终得到的结果一定是符合一条正态分布的曲线。
均值抽样分布¶
我们在研究一个总体的时候，很多情况下，处于各种原因和限制，我们是无法获得总体的全部数据的，因而不能直接计算出总体的真实均值 \(\mu\)。
这时，我们就可以进行抽样统计，通过反复随机抽样，来获得抽样分布的对称轴，从而估计总体的 \(\mu\) 值。只要抽样次数足够多，对称轴就等于总体真实均值 \(\mu\)。每次抽样的样本容量 \(n\) 越大，就越能代表总体，计算出的均值就越接近真实值 \(\mu\)。
事实上，只要我们每次抽样的样本量足够多，样本均值的分布将近似为正态分布，这也是中心极限定理的一个应用。但单次抽样的样本数量不足的时候，该分布并不是正态分布，而是所谓的 t 分布。
但是，很多情况下，特别是在做科研实验时，最终只能获得一次结果，相当于只做了一次抽样。那么应该怎么处理？
根据 68-95-99 原则，在正态分布情况下，假如我们只抽样一次，那么这个抽样结果，有 \(99\%\) 的概率落入总体真实值 \(\mu\) 左右 \(3\) 个标准差的区间内，有 \(95\%\) 的概率落入真实值 \(\mu\) 左右 \(2\) 个标准差的区间内。
但假如这仅仅一次的抽样结果落到了 \(99\%\) 的区间之外，说明我们有很大的理由怀疑这次抽样不属于这个均值为 \(\mu\) 的总体，这就是假设检验。
假设检验¶
我们通过一个具体的例子来解释什么是假设检验。我们现在已有了大二所有新生的高考英语成绩，因此，我们可以得到大二所有新生的均值抽样分布。现在，我们在未知所有大一新生的高考成绩的情况下，想要判断今年大一新生的高考英语成绩的平均分与大二老生的平均分有没有显著的差别。（注意这里的显著，这就意味着我们的判断是带有主观成分在其中的）我们该怎么做呢？
这时候，我们可以进行假设。我们假设大一新生和大二老生的平均成绩没有显著差别。换句话说，大一新生和大二老生的英语成绩将属于同一个总体，这样我们若对大一新生进行大量反复的随机抽样，我们也会得到一个抽样分布，并且这个抽样分布和大二的抽样分布是一致的。
因此，当我们接下来对大一新生的一组英语成绩进行抽样后，我们就会得到一个均分值，它可能落在我们之前的大二新生的抽样分布的不同位置上。
我们现在定义一个极端值 \(\alpha=0.05\)，认为只要落在抽样分布的左右两端概率累积和为 \(\frac \alpha 2\) 的范围内，就认为违反了我们之前的“大一新生和大二老生的平均成绩没有显著差别”这个假设，我们称之为拒绝假设。反之，我们则认为符合我们的假设。
现在，我们可以进行专业术语的定义：
H0 表示零假设、原假设，在上面例子中，H0 的表述为：大一新生和大二老生的高考英语成绩没有差别。
H1 表示备择假设或对立假设，也就是拒绝 H0 后得到的对立的表述。“大一新生和大二老生的高考英语成绩有显著差别。”
我们把 \(\alpha=0.05\) 称为显著性水平，这是我们人为规定的一个信念水平。
我们之前提到的抽样分布的两端概率积累区域叫做拒绝域或否定域、临界域等。